🎯 Résumé exécutif : Pourquoi la rédaction vaut la moitié des points ?

Au contrôle de 4ème sur Pythagore, écrire uniquement le calcul « 12² + 5² = 169 donc √169 = 13 » ne rapporte qu'une petite partie des points. Le professeur évalue ta capacité à démontrer rigoureusement en citant les données de l'énoncé (« On sait que... ») et le nom exact du théorème.

Cas n°1 • Calculer l'hypoténuse

On cherche le plus grand côté

Le triangle est rectangle et on connaît les 2 côtés de l'angle droit. On additionne les carrés.

1 On sait que le triangle RST est rectangle en S.
2 D'après le théorème de Pythagore :
3
RT² = RS² + ST²
RT² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
RT = √169 = 13 cm (valeur exacte).
Cas n°2 • Côté de l'angle droit

On cherche un petit côté

On connaît déjà l'hypoténuse et un côté. On écrit l'égalité puis on soustrait les carrés.

1 On sait que le triangle IJK est rectangle en I (donc [JK] est l'hypoténuse).
2 D'après le théorème de Pythagore :
3
JK² = IJ² + IK²
7² = 3² + IK² soit 49 = 9 + IK²
IK² = 49 − 9 = 40
IK = √40 ≈ 6,32 cm (au centième).
Cas n°3 • Partie III : Angle droit ?

Vérifier si un triangle est rectangle

On connaît les 3 longueurs. Interdiction d'écrire l'égalité au début ! On fait 2 calculs séparés.

1 Dans le triangle KLM, le plus grand côté est [KM].
2
• D'une part : KM² = 13² = 169
• D'autre part : KL² + LM² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
3 On constate que KM² = KL² + LM². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, KLM est rectangle en L.

🚨 Les 4 erreurs qui font perdre des points en 4ème

  • Oublier de préciser le sommet de l'angle droit : écrire « Dans le triangle ABC » au lieu de « Dans le triangle ABC rectangle en A ».
  • Oublier le symbole carré (²) ou la racine carrée (√) : écrire BC = 169 au lieu de BC² = 169 puis BC = √169 = 13.
  • Écrire l'égalité dès la 1ère ligne dans la Partie III : quand on ne sait pas encore si le triangle est rectangle, on utilise obligatoirement « D'une part... D'autre part... ».
  • Confondre valeur exacte et valeur approchée : √40 est la valeur exacte (symbole =), alors que 6,32 cm est la valeur arrondie au centième (symbole ≈).

🖩 Mémo Calculatrice & Carrés Parfaits à savoir par cœur

Même avec ta calculatrice, connaître les carrés parfaits jusqu'à 15² te permet de vérifier instantanément tes résultats :

3² = 9 | √9 = 3
4² = 16 | √16 = 4
5² = 25 | √25 = 5
6² = 36 | √36 = 6
7² = 49 | √49 = 7
8² = 64 | √64 = 8
9² = 81 | √81 = 9
10² = 100 | √100 = 10
11² = 121 | √121 = 11
12² = 144 | √144 = 12
13² = 169 | √169 = 13
15² = 225 | √225 = 15
📐 Partie I du Cours • Repères géométriques

I. Le triangle rectangle et l'égalité de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le côté le plus long du triangle.

B A C Hypoténuse [BC] Côté de l'angle droit

Théorème de Pythagore : Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :

BC² = AB² + AC²

✍️ Partie II du Cours • Calculer une longueur

II. Rédiger le calcul d'une longueur avec le théorème de Pythagore

Pour obtenir tous les points au contrôle, ta rédaction doit obligatoirement comporter ces 3 paragraphes :

Exemple A : Calculer l'hypoténuse (Ex 3 / Ex 23)

Énoncé : RST est rectangle en S avec RS = 7 cm et ST = 4 cm. Calculer RT au dixième près.

• On sait que le triangle RST est rectangle en S.

• D'après le théorème de Pythagore, on a :

RT² = RS² + ST²

RT² = 7² + 4²

RT² = 49 + 16 = 65

• Donc RT = √65 cm (valeur exacte)

soit RT ≈ 8,1 cm (arrondi au dixième près).

Exemple B : Calculer un côté de l'angle droit (Ex 6)

Énoncé : ABC est rectangle en C avec AB = 12,5 cm et BC = 10 cm. Calculer AC.

• On sait que le triangle ABC est rectangle en C (donc [AB] est l'hypoténuse).

• D'après le théorème de Pythagore, on a :

AB² = AC² + BC²

12,5² = AC² + 10²

156,25 = AC² + 100

AC² = 156,25 − 100 = 56,25

• Donc AC = √56,25 = 7,5 cm.

🔥 Partie III du Cours • Sujet Principal de l'Interro !

III. Démontrer qu'un triangle est rectangle ou non (Réciproque & Contraposée)

Lorsqu'on connaît les 3 longueurs d'un triangle et que l'on veut savoir s'il est rectangle :
👉 Règle absolue de rédaction : On repère d'abord le côté le plus long (qui serait l'hypoténuse s'il était rectangle) et on effectue deux calculs séparés (« D'une part... » et « D'autre part... »).

✅ Modèle 1 : Le triangle EST rectangle (Ex 8 / Ex 30)

Énoncé : Soit EFG tel que EF = 45 cm, FG = 60 cm et EG = 75 cm. Est-il rectangle ?

1. Dans le triangle EFG, le côté le plus long est [EG].

2. • D'une part : EG² = 75² = 5 625

   • D'autre part : EF² + FG² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625

3. On constate que EG² = EF² + FG².

4. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.

❌ Modèle 2 : Le triangle N'EST PAS rectangle (Ex 28 / Ex 10)

Énoncé : Soit RST tel que RT = 15 cm, ST = 18 cm et RS = 24 cm. Est-il rectangle ?

1. Dans le triangle RST, le côté le plus long est [RS].

2. • D'une part : RS² = 24² = 576

   • D'autre part : RT² + ST² = 15² + 18² = 225 + 324 = 549

3. On constate que RS² ≠ RT² + ST².

4. L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée (contraposée), donc le triangle RST n'est pas rectangle.

💡 Partie IV • Astuce pour trouver le sommet de l'angle droit

Comment savoir en quelle lettre le triangle est rectangle ?

Quand l'égalité est vérifiée, regarde le plus grand côté : c'est l'hypoténuse ! L'angle droit se trouve toujours sur la 3ème lettre (celle qui n'est pas dans le nom de l'hypoténuse).

  • Dans le triangle RST, si le plus grand côté est [RT], alors l'angle droit est en S.
  • Dans le triangle STU, si le plus grand côté est [SU], alors l'angle droit est en T.
  • Dans le triangle FGH, si le plus grand côté est [FG], alors l'angle droit est en H.

🏋️ Atelier d'entraînement spécial Contrôle (12 Exercices)

Entraîne-toi d'abord sur les automatismes rapides, puis sur les rédactions complètes à trous comme sur ta feuille de copie !

⚡ Étape 1 : Automatismes Flash (Racines carrées & Égalités de Pythagore)

Ex 1 • Flash Calcul Mental À faire

Racines carrées de carrés parfaits

Sans calculatrice, donne l'écriture décimale des nombres suivants :

1) √36 =
2) √81 =
3) √144 =
4) √169 =
Ex 2 • Flash Égalités À faire

Identifier la bonne égalité de Pythagore

A B C D
1) Dans ABC rectangle en B :
2) Dans ADB rectangle en D :
3) Dans BDC rectangle en D :

✍️ Étape 2 : Entraînement à la Rédaction Complète (Partie III - Réciproque & Contraposée)

Ex 3 • Rédaction guidée type Contrôle (Ex 28) À faire

Démontrer si le triangle RST est rectangle

Soit le triangle RST tel que RT = 15 cm, ST = 18 cm et RS = 24 cm. Complète la rédaction officielle :

• Dans le triangle RST, le côté le plus long est .
• D'une part : RS² = 24² =
• D'autre part : RT² + ST² = 15² + 18² = 225 + 324 =
• On constate que RS² RT² + ST².
• L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle RST rectangle.
Ex 4 • Rédaction guidée type Contrôle (Ex 29) À faire

Démontrer que le triangle KLM est rectangle

Soit le triangle KLM tel que KL = 12 cm, LM = 5 cm et KM = 13 cm. Complète la rédaction :

• Dans le triangle KLM, le côté le plus long est .
• D'une part : KM² = 13² =
• D'autre part : KL² + LM² = 12² + 5² = 144 + 25 =
• On constate que KM² KL² + LM².
• D'après la , le triangle KLM est rectangle en .

📐 Étape 3 : Rédaction Calcul de longueur & Exercices du chapitre

Ex 5 • Rédaction Calcul d'un côté (Ex 24) À faire

Calculer MN dans MNP rectangle en M

On donne MP = 4 cm et PN = 7 cm. Complète la rédaction pour trouver MN (au centième près) :

• On sait que le triangle MNP est rectangle en .
• D'après le théorème de Pythagore, on a :
PN² = MP² + MN², soit 7² = 4² + MN²
MN² = 49 − 16 =
• Donc MN = √33 ≈ cm (au centième).
Ex 6 • Calculs de longueurs (Ex 26 & 27) À faire

Trouver la valeur exacte avec la calculatrice

1) Ex 26 : ABC est rectangle en C tel que BC = 9,6 cm et AC = 4,0 cm. Calcule la longueur exacte AB :

AB = cm

2) Ex 27 : DEF est rectangle en E tel que DF = 7,5 cm et EF = 4,5 cm. Calcule la longueur exacte DE :

DE = cm

🏆 Étape 4 : Les 6 Exercices incontournables sur la Partie III (Réciproque ou Contraposée)

Pour chacun de ces 6 exercices issus de tes fiches de cours, rédige d'abord au brouillon avec « D'une part... D'autre part... », puis vérifie ta conclusion et les carrés calculés :

Ex 7 • Triangle RST À faire

RS = 6 cm, ST = 4,5 cm et RT = 7,5 cm.

• D'une part : RT² = 7,5² =
• Conclusion :
Ex 8 • Triangle JKL À faire

JK = 21 cm, KL = 27 cm et JL = 35 cm.

• JK² + KL² = 21² + 27² =
• Conclusion (sachant que 35² = 1225) :
Ex 9 • Triangle DEF (Ex 31) À faire

DE = 28 cm, EF = 96 cm et DF = 100 cm.

• DE² + EF² = 28² + 96² =
• Conclusion :
Ex 10 • Triangle FGH (Ex 32) À faire

FG = 16,9 dm, GH = 11,9 dm et FH = 12 dm.

• D'une part : FG² = 16,9² =
• Conclusion :
Ex 11 • Triangle STU À faire

ST = 28,8 dm, TU = 38,4 dm et SU = 48 dm.

• D'une part : SU² = 48² =
• Conclusion :
Ex 12 • Testeur de Rédaction À faire

Rédige comme en contrôle !

Énoncé : Soit ABC tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. Rédige la démonstration complète ci-dessous :

✅ Check-list finale & Questions fréquentes avant l'interro

Vérifie chaque point la veille du contrôle et le matin même avant de partir en cours.

🎒 Plan d'action en 5 étapes (Coche au fur et à mesure)

❓ FAQ : Questions fréquentes en contrôle

Q1 : Quand dois-je écrire « théorème de Pythagore » ou « réciproque du théorème de Pythagore » ?

• Si tu sais déjà que le triangle est rectangle et que tu cherches une longueur ➔ Théorème de Pythagore.
• Si tu connais les 3 longueurs et que tu prouves que le triangle est rectangle ➔ Réciproque du théorème de Pythagore.

Q2 : Si ma calculatrice affiche √52 quand je tape √52, comment avoir le nombre à virgule ?

Appuie sur la touche S⇔D (Casio) ou ≈ / ◄► (TI / NumWorks) juste au-dessus du bouton Entrée pour passer de l'écriture exacte (√52) à l'écriture décimale approchée (7,21).

Q3 : Est-ce grave si j'écris RS² = RT² + ST² dès la première ligne de la Partie III ?

Oui ! Tant que tu n'as pas fait les deux calculs séparés, tu ne sais pas si les deux membres sont égaux (surtout quand le triangle n'est pas rectangle comme dans l'Ex 28 où 576 ≠ 549).